День святого пи.

WhatsApp/Telegram +7 (916) 243-87-61

16.03.2015

День святого пи.

14 марта (3/14 в традиционном для многих стран способе записи даты) во всем мире отмечают день числа пи, самой знаменитой математической константы, десятичная запись которой начинается с цифр 3.14. В 2015-м день пи (π) — особенный праздник: с датой совпадают сразу пять первых цифр записи числа — 3.1415. А еще можно посмотреть на следующие знаки константы и отметить секунду пи — она наступила в 9 часов 26 минут 53 секунды; такое случается раз в столетие.

Гонка рекордов

Число пи — отношение длины окружности к ее диаметру, самая знаменитая и древняя математическая константа. Нужна она далеко не только геометрам и инженерам — пи возникает практически во всех математических и физических теориях; просто потому, что окружность (множество точек, равноудаленных от данной) неизбежно всплывает даже в далеких от геометрии научных направлениях — в комплексном анализе, теории вероятностей, теории чисел. Непросто, например, усмотреть, какое отношение имеет круг к знаменитому тождеству Эйлера, связывающем константу Эйлера e, пи и корень из минус единицы, i:

В большинстве случаев ученым достаточно знать, что пи — положительное число, а какое именно — не так уж важно. Куда интереснее для математиков некоторые удивительные свойства этого числа. Например, то, что пи — иррациональное число, то есть его нельзя представить в виде дроби, а из этого следует, что в десятичной записи числа пи — бесконечное число цифр, и нет никаких периодических повторов.

Как ни странно, кроме того, что десятичная запись пи бесконечна и непериодична, мы мало что еще можем про нее сказать. Часто можно услышать, что в записи числа пи на каком-нибудь достаточно далеком месте встретится любое наперед заданное конечное число. На самом деле, неизвестно, так это или нет. Более того, мы даже не знаем, любая ли цифра повторяется в записи пи бесконечное число раз: не исключено, что, начиная с какой-то очень далекой позиции, в записи пи останутся, к примеру, только нули и единицы.

Большинство математиков уверены, что число пи является «нормальным», то есть в его десятичной записи любое число встречается в среднем так же часто, как в случайном наборе цифр: однозначное — например, цифра 4 — в среднем раз в 10 символов, двузначное — как 42 — раз в 100 символов, трехзначное — раз в тысячу. И так далее. Если пи — нормальное, то любое наперед заданное конечное число действительно можно обнаружить в его записи, и даже — бесконечное число раз. Вот только доказательства нормальности пи нет, и никто пока даже не может вообразить, как к нему подступиться.

Очевидно, проверить эту гипотезу экспериментально невозможно: потратив достаточно много времени, можно вычислить сколько угодно знаков числа пи, но вычисление бесконечного числа знаков заняло бы бесконечное время. Люди занимаются вычислением пи почти с маниакальным энтузиазмом уже два тысячелетия, и в этом занятии давно нет особого смысла. Чтобы вычислить длину окружности видимой Вселенной с точностью до размера протона, хватит знания всего лишь 39 знаков числа пи:

3.1415926535 8979323846 2643383279 50288419 —

и они были известны еще в середине XVII века. Ни для каких прикладных или физических вычислений (учитывая технический уровень современных приборов) не требуется знать больше пары сотен знаков числа пи — при этом первые 500 из них человечество получило уже в 1895 году. Можно считать, что примерно с этого момента вычисление пи превратилось в спорт, гонку рекордов, лишенную практического значения.

Как вычисляют пи? В древности для этого подсчитывали длину периметра вписанных в окружность многоугольников. Используя этот метод, Архимед правильно нашел первые три знака константы — 3.14. Однако примерно с XV века люди стали использовать куда более эффективный способ — представление пи в виде суммы бесконечного ряда, сложение все большего количества первых членов которого дает все более точное значение пи. Пожалуй, самый простой из таких рядов — ряд Лейбница:

Однако он «медленно сходится» — для вычисления очередного знака нужно складывать все больше членов. За прошедшие века было придуманно множество других — куда быстрее сходящихся рядов, позволяющих найти приближенное значение пи и вычислить его очередные знаки; гонка рекордов вычисления пи в итоге во многом превратилась в гонку изобретения новых формул, а с 1950-х годов — еще и в гонку вычислительных мощностей компьютеров.

Последний рекорд зарегистрирован в октябре 2014 года: анонимный энтузиаст с ником houkouonchi нашел на обычном персональном компьютере с процессором мощностью 2,6 гигагерца 13,300,000,000,000 (13.3 триллиона) знаков пи. На само вычисление ушло 208 дней, на проверку результата — еще 182 часа. Houkouonchi использовал для вычисления алгоритм y-cruncher, придуманный американским математиком Александром Йи. А вообще с помощью этой программы были поставлены все три последних рекорда; от их обладателей не требовалось ничего, кроме готовности пожертвовать несколькими месяцами непрерывной работы домашнего компьютера.

Любопытно, что с конца 2009 года рекорды ставились именно на обычных персоналках. С одной стороны, это следствие повышения их мощности. С другой — в мире, где лэптоп считает быстрее, чем суперкомпьютер 20-летней давности, азарт к вычислению пи значительно поумерился. Первым рекордсменом эпохи вычисления пи на обычных компьютерах стал французский программист Фабрис Беллар, его результат — 2 699 999 990 000 десятичных знаков — получен на компьютере стоимостью меньше трех тысяч долларов.

А пик соперничества пришелся на 1980-е — 1990-е годы: на протяжении двух десятилетий рекорд вычисления пи вырос с двух миллионов знаков до 200 миллиардов. Главными конкурентами тогда были японец Ясумаса Канада и американские математики братья Давид и Григорий Чудновские. При этом профессор Токийского университета Канада пользовался промышленным суперкомпьютером Hitachi SR8000, тогда как родившиеся в Киеве и позже эмигрировавшие в США братья Чудновские делали расчеты на самодельном компьютере m zero. Машина была создана на деньги их жен, одна из которых работала юристом, а вторая — чиновником в ООН. Суперкомпьютер занимал целую комнату, охлаждался 25-тью бытовыми вентиляторами, обошелся примерно в 70 тысяч долларов и работал быстрее многих промышленных суперкомпьютеров, стоивших десятки миллионов долларов.

Однако Чудновские опирались не только на суперкомпьютер, они также изобрели чрезвычайно эффективную формулу, которая получила название алгоритм Чудновских и позже применялась для установления первого рекорда на персональном компьютере Фабрисом Белларом. Формула Чудновских выглядит отнюдь не так просто, как ряд Лейбница, зато и считает намного быстрее: